kelas XI

LIMIT FUNGSI

 

1  Teorema

1.          4. 

2.          5.   dengan

3.  ,   c = konstanta     6.       

2  Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1.  Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : .

2.  Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :

3.  Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

3  Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka

Contoh :   1. 

                 2. 

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : .

3.1  Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

 

Catatan :

1.  Karena x®a, maka (x-a) ® 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x - a)

2.  Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) ¹ 0

3.  Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. 

2. 

3. 

3.2  Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : .

Contoh :

1.

2. 

3. 

Kesimpulan:

Jika

    

maka: 1.  untuk n = m

2.  untuk n < m

3.  atau -¥ untuk n > m

4.      (kesimpulan (1))

5.             (kesimpulan (2))

6.             (kesimpulan (3))

3.3  Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :

1.  Kalikan dengan bentuk sekawannya !

    

2.  Bentuknya berubah menjadi

3.  Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:

1. 

           

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1, sebab

2. 

pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

    

Secara umum:

1)   jika      a = p

2)  ¥    jika       a > p

3)  -¥  jika        a < p

3. 

4. 

5. 

3.4 Limit Bentuk

Definisi :

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

1. 

2. 

Contoh :

1. 

2. 

3. 

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema :

1. 

2. 

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka:

Contoh :

1. 

2. 

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : .

4.1  Limit Bentuk

1.   

2. 

3. 

        

4.2  Limit Bentuk ¥ - ¥

Limit bentukdapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk .

Contoh :

4.3  Limit Bentuk

Limit bentukdapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk .

Contoh :

5  Limit Deret Konvergen

Definisi :            Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) :     -1 < r < 1.  

Teorema :

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen

a : U₁ : suku pertama

r : rasio, yaitu

Contoh :

1.  Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

a)          b) 

Jawab :     a)                          b)           

                              

2.  Hitung limit berikut :

a)                   b) 

Jawab :     a)        

b) 

3.  Ubahlah menjadi pecahan biasa !

a)  0,6666 .....                b)  0,242424 .....

Jawab :       a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

b)  0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

4.  Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !

Jawab :                ...... (1)

U₂ + U₄ + U₆ + ... = 4

ar + ar³ + ar⁵ + ... = 4

      ...... (2)

Persamaan (1) :

Rasio =  dan suku pertama = 6

5.      Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

Jawab :

	Luas bujursangkar  I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 5Ö2 x  5Ö2 = 50 cm2. Rasio luas = Jumlah semua bujursangkar =

 

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi :            Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika .

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :

1.  f(a) terdefinisi (ada)

2.   terdefinisi ada

3. 

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

 

 

Contoh :

1.  Tunjukkan bahwa fungsi  kontinu di x = 1

Jawab :          1)  ¾® f(1) terdefinisi

2)  ¾® terdefinisi

3)     Jadi fungsi  kontinu di x =1.

2.  Selidiki apakah fungsi  kontinu di x = 3

Jawab :     1)             (tidak terdefinisi)

                 Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

3.  Selidiki apakah fungsi

               kontinu di x = 2

Jawab :     1)            f(1) = 4   (terdefinisi)

            2) 

                    (terdefinisi)

            3)  , berarti f(x)   diskontinu di x = 1