CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK
1. Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
2.
Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3
Tentukan f-1 (x) !
Jawab:
f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
3.
Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)
Tentukan f-1(x)
Jawab:
y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)
Anggap f : A ® B dan g : B ® C
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
Tampilkan postingan dengan label MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Selasa, 29 Maret 2011
rumus trigonometri
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
logaritma
LOGARITMA
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
Dasar Logaritma
Mencari nilai logaritma:
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Rumus Logaritma:
Rumus Logaritma
Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:
Sifat Logaritma
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
Dasar Logaritma
Mencari nilai logaritma:
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Rumus Logaritma:
Rumus Logaritma
Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:
Sifat Logaritma
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Jumat, 25 Maret 2011
limit fungsi
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
trigonometri
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
pengertian suku banyak
SUKU BANYAK
Bentuk umum
Polinormal dalam variabel x berderajat r
Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang
• Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.
• Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.
Nilai Suku Banyak
• Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).
• Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.
• Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :
Substitusi langsung
Horner
Contoh :
Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5
Untuk x = - 2
Cara I → substitusi langsung
f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5
= -256 + 320 – 80 – 56 – 5
= -77
Cara II → horner
Kesamaan suku banyak
Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).
Contoh :
Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :
Jawab :
p + q + r = 6 …. (1)
-q – 3r = -7 … (2)
-p – 2q + 2r = -1 … (3)
(1) & (3) (1) & (2)
Pembagian suku banyak
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x-a) . h (x) + sisa
f (a) = sisa
• Jika pembagi fungsi x pangkat n, maka sisa berpangkat paling tinggi (n-1)
a Sisa :
S2 (x – a) + S1
→ S1
b Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S2
a Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S1
b
→ S2
c
→ S3
Teorema sisa dan faktor
Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).
Contoh :
Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?
Jawab :
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x – 2) . H (x) + 8
f (x) = 8
f (x) = (x + 3) . H (x) + (-7)
f (-3) = -7
f (x) = (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)
f (x) = (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)
f (-3) = a (-3) + b → -3 a + b = -7
f (-2) = a . 2 + b → 2 a + b = 8 -
- 5 a = -15
a = 3
b = 2
Memfaktorkan suku banyak
Langkah-langkah :
1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.
Suku banyak berderajat 3 dan 4
• Berderajat 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 =
x1x2 + x2x3 + x1x3 =
x1x2x3 =
• Berderajat 4
ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 =
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =
x1 x2 x3 x4 =
A.
1. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …
a. 8x + 8
b. 8x – 8
c. -8x + 8
d. -8x – 8
e. -8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
a. -6x + 5
b. -6x – 5
c. 6x + 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
4. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
5. Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …
a. -6
b. -3
c. 1
d. 6
e. 8
6. Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …
a. –x + 7
b. 6x – 3
c. -6x – 21
d. 11x – 13
e. 33x – 39
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …
a. 2x – 1
b. 2x + 3
c. x – 4
d. x + 4
e. x + 2
8. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …
a. 20x + 24
b. 20x – 16
c. 32x + 24
d. 8x + 24
e. -32x – 16
9. Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …
a. -25
b. -20
c. -10
d. 10
e. 20
10. Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …
a. -9
b. -10
c. -11
d. 9
e. 10
11. Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …
a. 2x + 3
b. 2x – 3
c. 3x + 2
d. 3x – 2
e. x + 1
12. Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …
a. x + 3
b. x + 2
c. x + 1
d. x
e. x – 1
13. Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …
a. -5
b. -4
c. -3
d. -1
e. 0
14. Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …
a. 1
b. 8
c. 9
d. 10
e. 22
15. Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …
a. 4
b. 3
c. 1
d. -1 ¾
e. -4
16. Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …
a. 30
b. 20
c. 10
d. -20
e. -30
17. Jika x1, x2 dan x3¬ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …
a. 6
b. -5
c. -8
d. 10
e. 2
18. Suatu suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya -7, sisa pembagian suku banyak f (x) oleh x2 + x – 6 adalah …
a. 9x – 7
b. x + 6
c. 2x + 3
d. x – 4
e. 3x + 2
19. Suku banyak :
f (x) = x3 + mx2 – 4x + (2m – 3) dan f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3. Apabila f (x) dibagi (x + 1) sisanya …
a. -6
b. -3
c. 6
d. 9
e. 12
20. Jika salah satu akar suku banyak f (x) = 0, maka akar (x2 + 3x + 6). F (x + 2) = 0 adalah …
a. a + 2
b. a + 3
c. a – 3
d. 2a
e. a – 2
B.
1. Nilai suku banyak x5 – x3 + 7x + 12 untuk x = 2 adalah …
2. Salah satu faktor suku banyak P (x) = x4 – 15x2 – 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah …
3. Salah satu faktor dari suku banyak p (x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). Faktor linier lain dari suku banyak tersebut adalah …
4. Jika x3 – 3x2 + 5x – 9 dibagi x – 2, sisanya adalah …
5. Persamaan x3 – 7x2 + ax – 8 mempunyai akar-akar yang membentuk barisan geometri. Tentukan nilai a !
6. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisa 24 dan bila dibagi (x + 5) sisanya 10, carilah sisanya bila f (x) dibagi x2 + 3x – 10 !
7. Tentukan akar-akar persamaan suku banyak x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0.
8. Tentukan nilai p dan q jika suku banyak x4 – px2 + qx – 8 habis dibagi dengan x2 – 2x + 1 !
9. Jika suku banyak x3 + 10x2 – 4x + 7 dan x3 + 10x2 + (a – 8)x + 1 dibagi 4x – 3 memberikan sisa yang sama, hitunglah a !
10. Agar (x – 1) merupakan faktor dari 2x4 – 4x2 – 3x + 3 nilai a yang memenuhi adalah …
11. Himpunan penyelesaian persamaan x4 + 3x3 – 5x2 – 3x + 4 = 0 adalah …
12. Persamaan 2x3 + 3x2 - 9x – 10 dapat difaktorkan menjadi …
13. Akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1, x2, x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah …
14. Persamaan x3 + 2x2 – 15x + a = 0 mempunyai sepasang akar sama. Nilai a sama dengan …
15. Suku banyak 2x3 + 7x2 + ax – 3 mempunyai faktor 2x – 1. Faktor-faktor linier lainnya adalah …
16. Suku banyak f (x) = ax3 – 5x2 – 22x + b habis dibagi dengan (x2 – 4x – 5), maka nilai a dan b berturut-turut adalah …
17. Diket f (x) dibagi dengan x – 2 sisanya 5, dibagi dengan x – 3 sisanya 7. Bila f (x) dibagi dengan x2 – 5x + 6, sisanya adalah …
18. Suku banyak p (x) dibagi oleh x2 – x memberikan sisa 3x + 1, sedangkan dibagi oleh x2 + x sisanya 1 – x. Sisa pembagian p (x) oleh x2 – 1 adalah …
19. Akar-akar dari persamaan suku bunga x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 = 0 adalah …
20. Salah satu akar persamaan x4 + px3 + 7x2 – 3x – 10 = 0 adalah 1. jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah …
Bentuk umum
Polinormal dalam variabel x berderajat r
Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang
• Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.
• Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.
Nilai Suku Banyak
• Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).
• Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.
• Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :
Substitusi langsung
Horner
Contoh :
Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5
Untuk x = - 2
Cara I → substitusi langsung
f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5
= -256 + 320 – 80 – 56 – 5
= -77
Cara II → horner
Kesamaan suku banyak
Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).
Contoh :
Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :
Jawab :
p + q + r = 6 …. (1)
-q – 3r = -7 … (2)
-p – 2q + 2r = -1 … (3)
(1) & (3) (1) & (2)
Pembagian suku banyak
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x-a) . h (x) + sisa
f (a) = sisa
• Jika pembagi fungsi x pangkat n, maka sisa berpangkat paling tinggi (n-1)
a Sisa :
S2 (x – a) + S1
→ S1
b Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S2
a Sisa :
S3 (x – a) (x – b) + S2 (x – a) + S1
→ S1
b
→ S2
c
→ S3
Teorema sisa dan faktor
Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).
Contoh :
Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?
Jawab :
Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa
f (x) = (x – 2) . H (x) + 8
f (x) = 8
f (x) = (x + 3) . H (x) + (-7)
f (-3) = -7
f (x) = (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)
f (x) = (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)
f (-3) = a (-3) + b → -3 a + b = -7
f (-2) = a . 2 + b → 2 a + b = 8 -
- 5 a = -15
a = 3
b = 2
Memfaktorkan suku banyak
Langkah-langkah :
1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.
Suku banyak berderajat 3 dan 4
• Berderajat 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 =
x1x2 + x2x3 + x1x3 =
x1x2x3 =
• Berderajat 4
ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 =
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =
x1 x2 x3 x4 =
A.
1. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …
a. 8x + 8
b. 8x – 8
c. -8x + 8
d. -8x – 8
e. -8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
a. -6x + 5
b. -6x – 5
c. 6x + 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
4. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …
a. x – 2
b. x + 2
c. x – 1
d. x – 3
e. x + 3
5. Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …
a. -6
b. -3
c. 1
d. 6
e. 8
6. Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …
a. –x + 7
b. 6x – 3
c. -6x – 21
d. 11x – 13
e. 33x – 39
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …
a. 2x – 1
b. 2x + 3
c. x – 4
d. x + 4
e. x + 2
8. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …
a. 20x + 24
b. 20x – 16
c. 32x + 24
d. 8x + 24
e. -32x – 16
9. Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …
a. -25
b. -20
c. -10
d. 10
e. 20
10. Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …
a. -9
b. -10
c. -11
d. 9
e. 10
11. Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …
a. 2x + 3
b. 2x – 3
c. 3x + 2
d. 3x – 2
e. x + 1
12. Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …
a. x + 3
b. x + 2
c. x + 1
d. x
e. x – 1
13. Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …
a. -5
b. -4
c. -3
d. -1
e. 0
14. Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …
a. 1
b. 8
c. 9
d. 10
e. 22
15. Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …
a. 4
b. 3
c. 1
d. -1 ¾
e. -4
16. Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …
a. 30
b. 20
c. 10
d. -20
e. -30
17. Jika x1, x2 dan x3¬ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …
a. 6
b. -5
c. -8
d. 10
e. 2
18. Suatu suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya -7, sisa pembagian suku banyak f (x) oleh x2 + x – 6 adalah …
a. 9x – 7
b. x + 6
c. 2x + 3
d. x – 4
e. 3x + 2
19. Suku banyak :
f (x) = x3 + mx2 – 4x + (2m – 3) dan f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3. Apabila f (x) dibagi (x + 1) sisanya …
a. -6
b. -3
c. 6
d. 9
e. 12
20. Jika salah satu akar suku banyak f (x) = 0, maka akar (x2 + 3x + 6). F (x + 2) = 0 adalah …
a. a + 2
b. a + 3
c. a – 3
d. 2a
e. a – 2
B.
1. Nilai suku banyak x5 – x3 + 7x + 12 untuk x = 2 adalah …
2. Salah satu faktor suku banyak P (x) = x4 – 15x2 – 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah …
3. Salah satu faktor dari suku banyak p (x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). Faktor linier lain dari suku banyak tersebut adalah …
4. Jika x3 – 3x2 + 5x – 9 dibagi x – 2, sisanya adalah …
5. Persamaan x3 – 7x2 + ax – 8 mempunyai akar-akar yang membentuk barisan geometri. Tentukan nilai a !
6. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisa 24 dan bila dibagi (x + 5) sisanya 10, carilah sisanya bila f (x) dibagi x2 + 3x – 10 !
7. Tentukan akar-akar persamaan suku banyak x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0.
8. Tentukan nilai p dan q jika suku banyak x4 – px2 + qx – 8 habis dibagi dengan x2 – 2x + 1 !
9. Jika suku banyak x3 + 10x2 – 4x + 7 dan x3 + 10x2 + (a – 8)x + 1 dibagi 4x – 3 memberikan sisa yang sama, hitunglah a !
10. Agar (x – 1) merupakan faktor dari 2x4 – 4x2 – 3x + 3 nilai a yang memenuhi adalah …
11. Himpunan penyelesaian persamaan x4 + 3x3 – 5x2 – 3x + 4 = 0 adalah …
12. Persamaan 2x3 + 3x2 - 9x – 10 dapat difaktorkan menjadi …
13. Akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1, x2, x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah …
14. Persamaan x3 + 2x2 – 15x + a = 0 mempunyai sepasang akar sama. Nilai a sama dengan …
15. Suku banyak 2x3 + 7x2 + ax – 3 mempunyai faktor 2x – 1. Faktor-faktor linier lainnya adalah …
16. Suku banyak f (x) = ax3 – 5x2 – 22x + b habis dibagi dengan (x2 – 4x – 5), maka nilai a dan b berturut-turut adalah …
17. Diket f (x) dibagi dengan x – 2 sisanya 5, dibagi dengan x – 3 sisanya 7. Bila f (x) dibagi dengan x2 – 5x + 6, sisanya adalah …
18. Suku banyak p (x) dibagi oleh x2 – x memberikan sisa 3x + 1, sedangkan dibagi oleh x2 + x sisanya 1 – x. Sisa pembagian p (x) oleh x2 – 1 adalah …
19. Akar-akar dari persamaan suku bunga x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 = 0 adalah …
20. Salah satu akar persamaan x4 + px3 + 7x2 – 3x – 10 = 0 adalah 1. jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah …
contoh soal suku banyak
SUKU BANYAK
1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian !
Jawab :
-
-
-
Jadi hasil baginya = 3x – 4 dan sisanya = -14x + 26
2. Tentukan sisa pembagian !
Jawab :
-
Jadi sisanya = 2x – 1
3. Tentukan sisa pembagian !
Jawab :
2 -7 11 -4
1 -3 4
+
2 -6 8 0
Jadi sisanya = 0
4. Tentukan sisa pembagian !
Jawab : 1 -3 5 -9
2 2 -2 6 +
1 -1 3 -3
Jadi sisanya = -3
5. Tentukan m supaya habis dibagi 2x – 1 !
Jawab : 4 -12 m 0 2
2 -5
+
4 -10 m-5 0
6. Jika x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari , maka tentukan nilai a, b dan c !
Jawab :
7. Bila dibagi x – 1 memberikan sisa yang sama, maka tentukan p !
Jawab :
Jika f(x) : (x – a ) maka sisanya = f(a)
8. Bila f(x) dibagi x + 2 mempunyai sisa 14 dan jika dibagi x – 4 sisanya –4. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi !
Jawab :
Misal sisanya = ax + b
9. Tentukan banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan
Jawab :
Faktor dari 9 yaitu
2 -3 -11 3 9
1 2 -1 -12 -9 +
2 -1 -12 -9 0
-1 -2 3 9 +
2 -3 -9 0
3 6 9 +
2 3 0
jadi banyaknya akar-akar rasional bulat ada 3.
10. Tentukan banyaknya akar real persamaan
Jawab :
1 1 -2 1 1 -2
1 1 2 0 1 2 +
1 2 0 1 2 0
-1 -1 -1 1 -2 +
1 1 -1 2 0
-2 -2 2 -2 +
1 -1 1 0
Karena pada harga D<0 maka banyaknya akar real hanya ada 3.
11. Jika x = -2 dan x = 4 akar real persamaan maka tentukan akar real ketiga !
Jawab :
12. Akar-akar persamaan . Tentukan nilai !
Jawab :
13. Apabila akar-akar persamaan membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka tentukan a, b dan c !
Jawab :
Misal
14. Tentukan sisa dibagi oleh !
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan menghasilkan sisa = 5x + 9
15. Tentukan hasil bagi dan sisa
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan didapat hasil bagi (2x – 2) dan sisa (x + 1)
16. Tentukan sisa pembagian dibagi oleh !
Jawab :
17. Suku banyak habis dibagi oleh 2x – 3. Tentukan p !
Jawab :
6 7 p -24
9 24 +
6 16 p+24 0
18. Salah satu faktor dari adalah (x + 1). Tentukan faktor linear yang lain !
Jawab :
2 -5 -4 3
-1 -2 7 -3 +
2 -7 3 0
3 6 -3 +
2 -1 0
Jadi faktor linear yang lain adalah (x – 3) dan (2x – 1)
19. Suku banyak habis dibagi x – 2. Tentukan sisa pembagian P(x) oleh !
Jawab :
x= 2 maka 24 – 16 – 12 + k = 0 atau k = 4
3x – 10
8x + 24
Jadi sisanya = 8x + 24
20. Suku banyak dibagi oleh bersisa x + 23. Tentukan nilai a + b !
Jawab :
21. Tentukan a agar suku banyak mempunyai satu faktor yang sama !
Jawab :
22. Jika V(x) dibagi oleh masing-masing bersisa 5x + 1 dan 3x + 1. Tentukan sisanya jika V(x) dibagi !
Jawab :
23. Jika f(x) dibagi dengan x – 2 sisanya 24, sedangkan jika dibagi x + 5 sisanya 10. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi !
Jawab :
24. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh x – 1. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x–1)(x+1) !
Jawab :
Dari (1) dan (2) maka :
a + b = 0
-a + b = f(-1)
2b = f(-1) atau b = ½ f(-1)
a + ½ f(-1) = 0 atau a = - ½ f(-1)
Jadi sisanya = ax + b = - ½ f(-1) x + ½ f(-1) = ½ f(-1) (1 – x)
25. Suku banyak f(x) dibagi x + 5 memberikan sisa (2x – 1) dan dibagi oleh (x – 3) memberikan sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) dibagi !
Jawab :
26. Diketahui suku banyak f(x). jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x).g(x), maka tentukan sisa pembagian h(x) oleh !
Jawab :
27. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan
Jawab :
28. Akar-akar persamaan . Untuk maka tentukan nilai !
Jawab :
29. Persamaan mempunyai sepasang akar berkebalikan. Tentukan p !
Jawab :
Misal
30. Persamaan mempunyai sepasang akar yang berlawanan. Tentukan nilai k !
Jawab :
Misal
1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian !
Jawab :
-
-
-
Jadi hasil baginya = 3x – 4 dan sisanya = -14x + 26
2. Tentukan sisa pembagian !
Jawab :
-
Jadi sisanya = 2x – 1
3. Tentukan sisa pembagian !
Jawab :
2 -7 11 -4
1 -3 4
+
2 -6 8 0
Jadi sisanya = 0
4. Tentukan sisa pembagian !
Jawab : 1 -3 5 -9
2 2 -2 6 +
1 -1 3 -3
Jadi sisanya = -3
5. Tentukan m supaya habis dibagi 2x – 1 !
Jawab : 4 -12 m 0 2
2 -5
+
4 -10 m-5 0
6. Jika x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari , maka tentukan nilai a, b dan c !
Jawab :
7. Bila dibagi x – 1 memberikan sisa yang sama, maka tentukan p !
Jawab :
Jika f(x) : (x – a ) maka sisanya = f(a)
8. Bila f(x) dibagi x + 2 mempunyai sisa 14 dan jika dibagi x – 4 sisanya –4. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi !
Jawab :
Misal sisanya = ax + b
9. Tentukan banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan
Jawab :
Faktor dari 9 yaitu
2 -3 -11 3 9
1 2 -1 -12 -9 +
2 -1 -12 -9 0
-1 -2 3 9 +
2 -3 -9 0
3 6 9 +
2 3 0
jadi banyaknya akar-akar rasional bulat ada 3.
10. Tentukan banyaknya akar real persamaan
Jawab :
1 1 -2 1 1 -2
1 1 2 0 1 2 +
1 2 0 1 2 0
-1 -1 -1 1 -2 +
1 1 -1 2 0
-2 -2 2 -2 +
1 -1 1 0
Karena pada harga D<0 maka banyaknya akar real hanya ada 3.
11. Jika x = -2 dan x = 4 akar real persamaan maka tentukan akar real ketiga !
Jawab :
12. Akar-akar persamaan . Tentukan nilai !
Jawab :
13. Apabila akar-akar persamaan membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka tentukan a, b dan c !
Jawab :
Misal
14. Tentukan sisa dibagi oleh !
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan menghasilkan sisa = 5x + 9
15. Tentukan hasil bagi dan sisa
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan didapat hasil bagi (2x – 2) dan sisa (x + 1)
16. Tentukan sisa pembagian dibagi oleh !
Jawab :
17. Suku banyak habis dibagi oleh 2x – 3. Tentukan p !
Jawab :
6 7 p -24
9 24 +
6 16 p+24 0
18. Salah satu faktor dari adalah (x + 1). Tentukan faktor linear yang lain !
Jawab :
2 -5 -4 3
-1 -2 7 -3 +
2 -7 3 0
3 6 -3 +
2 -1 0
Jadi faktor linear yang lain adalah (x – 3) dan (2x – 1)
19. Suku banyak habis dibagi x – 2. Tentukan sisa pembagian P(x) oleh !
Jawab :
x= 2 maka 24 – 16 – 12 + k = 0 atau k = 4
3x – 10
8x + 24
Jadi sisanya = 8x + 24
20. Suku banyak dibagi oleh bersisa x + 23. Tentukan nilai a + b !
Jawab :
21. Tentukan a agar suku banyak mempunyai satu faktor yang sama !
Jawab :
22. Jika V(x) dibagi oleh masing-masing bersisa 5x + 1 dan 3x + 1. Tentukan sisanya jika V(x) dibagi !
Jawab :
23. Jika f(x) dibagi dengan x – 2 sisanya 24, sedangkan jika dibagi x + 5 sisanya 10. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi !
Jawab :
24. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh x – 1. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x–1)(x+1) !
Jawab :
Dari (1) dan (2) maka :
a + b = 0
-a + b = f(-1)
2b = f(-1) atau b = ½ f(-1)
a + ½ f(-1) = 0 atau a = - ½ f(-1)
Jadi sisanya = ax + b = - ½ f(-1) x + ½ f(-1) = ½ f(-1) (1 – x)
25. Suku banyak f(x) dibagi x + 5 memberikan sisa (2x – 1) dan dibagi oleh (x – 3) memberikan sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) dibagi !
Jawab :
26. Diketahui suku banyak f(x). jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x).g(x), maka tentukan sisa pembagian h(x) oleh !
Jawab :
27. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan
Jawab :
28. Akar-akar persamaan . Untuk maka tentukan nilai !
Jawab :
29. Persamaan mempunyai sepasang akar berkebalikan. Tentukan p !
Jawab :
Misal
30. Persamaan mempunyai sepasang akar yang berlawanan. Tentukan nilai k !
Jawab :
Misal
Jumat, 18 Maret 2011
SUKU BANYAK
|
Langganan:
Postingan (Atom)